五、鈕釦商人葛朗特的偉大創見 ~~~ 賴老師投資教室
葛朗特
抽樣是冒險的第一步，我們總是根據已發生的事件揣摩未來。一般人常說「平均而言」，但這有何意義呢？統計學家常開玩笑說，一個人若把頭放在冰箱，腳放在烤箱，平均而言應該覺得很舒服。（統計應該放在風險管理之前，要瞭解過去才能掌控未來，但一般投資人往往只注意未來，不關心過去。他們在出手前根本不瞭解類似做法過去的成敗機率，盲目的操作和古代賭徒沒有兩樣。但用過去統計的平均值來擬定策略，很容易落入陷阱。例如用過去的平均值擬定期貨操作策略，可能在波動中就被大漲或大跌的走勢斷頭出場。就如上述統計學家舉的笑話一樣，平均看似很舒服，其實頭尾都會致命。）
1662年葛朗特出版《根據死亡率所做的自然與政治觀察》一書，分析1604年到1661年倫敦的出生率與死亡率，並從中推演出許多出乎意料的結論。葛朗特對原始數據所做的推理，過去從來沒人嘗試過，他最大的創舉是將有限的樣本作廣泛的推論，現代稱此為「統計推論」。例如他由1604年至1624年的數據推論：「36%的小孩會在六歲前夭折。」成年的人則活不過七十五歲，據此他編了一份由六歲到七十六歲的存活比例表，這張表廣為流傳，結果也與事實很接近。他最大的貢獻是對倫敦人口做出合理的估計，他以死亡統計資料推估倫敦人口數為384,000，這比一般認為倫敦人口有兩百萬的假設，更接近事實。
哈雷
葛朗特之後三十年，哈雷也用德國小鎮布雷斯洛的資料做了類似的分析，不同的是哈雷設計了一份依年齡分布的人口數表格，從這張表可以計算特定年齡的人一年內死亡的機率。例如二十五歲的人在一年內死亡的機率約80比1；四十歲的人活不到四十七歲的機率為5.5比1。這張表也能顯示任何年齡的人，平均剩餘壽命有多長，例如平均而言，三十歲的人預期可以再活27.5歲。
哈雷的研究在歐洲掀起計算預期壽命的潮流，過去人們普遍忽視這項資料的重要性。例如英國政府嘗試用保險年金籌措一百萬英鎊經費，政府出售承諾在十四年內，償付原始購買者全部價款的年金，但合約對不同年齡的購買者一視同仁，使得籌款成本高得離譜。奇怪的是，哈雷的預期壽命表於1693年出版後，又過了一百年，政府和保險公司才將這份資料納入考慮。（由知道到接受需要時間，接受到行為改變更需要時間。一旦之前接受了某種觀念，要改變便很困難，所以最好一開始便正確。投資也一樣，一開始不受錯誤觀念的誤導至為重要。）
保險
在葛朗特和哈雷的研究發表後，保險業便蓬勃發展。當時在泰晤士河邊的勞埃德咖啡館成為保險業的大本營，最後更因此成立了史上最著名的保險公司。這時的商人除了用保險避險，也懂得分散投資規避風險。保險經營和賭場經營很類似，保險公司用沒有遭受損失者付的保費，彌補損失者；而賭場則用賭輸者的錢，付給賭贏的贏家。（一般認定賭博是不好的，但買保險是好事，其實二者的本質並沒有差別。關鍵在於心態，心態正確，賭博也會變成投資；心態錯誤，投資便和賭博沒有兩樣。）
卷三 賭徒的理性抉擇（十七至二十世紀）
六、賭性難移
期望值與預期效用
幾年內風險研究不斷進化，由卡達諾及巴斯卡的數學成就，延伸到葛朗特及哈雷用機率觀念分析人口數據。而波爾羅亞的《邏輯》一書則提出：「對傷害的恐懼不僅跟傷害的嚴重性成正比，也跟傷害的機率成正比。」白努里《說明計算風險的新理論》論文的觀念和《邏輯》類似，二者都認為凡是與風險有關的決策，都涉及客觀的評估數據，以及當事者的主觀信念。不過波爾羅亞認為做決定時不在乎機率，只顧慮後果並不聰明；而白努里則認為光靠機率做決定，不考慮後果才是最大的錯誤。（兩種情況在股市都會出現：例如投資人在深具成長潛力的新股上市時，會不管價位瘋狂搶購。根據統計，新股看似潛力無限，但獲利機率反而不高，符合波爾羅亞的看法。此外，技術型態上，高檔暴量突破重要關卡後續漲的機率很高，但上檔空間有限，萬一折回時下跌的空間則非常大，在突破時買進並不聰明，和白努里的看法一致。）
白努里認為數學家評估風險時，是用期望值作選擇依據，這在實務上並不可行，因為每個人對相同結果會有不同的評價。例如一個投資可能賺一倍也可能全虧光，若算期望值這個投資並沒有損失，但實際上沒有人會做這種投資，因為獲利只能讓投資人吃好一點，但虧損卻會讓他流落街頭。機率計算用在賭博上並無不妥，但用在生活預期「效用」比「期望值」更為重要。例如《邏輯》作者責備一般人高估了被雷擊中的機率，所以一聽到打雷就害怕。這個觀念是錯的，因為被雷打到的機率雖然不高，但打中的後果卻很嚴重，所以聞雷色變是正確的反應。（投資也一樣，如果能預先考慮可能的後果，會發現有些投資的失敗代價實在太高，根本不值得冒險。許多借錢又融資加大槓桿操作的投資人，若事先思考可能的後果，便不會做這種傻事。在股市傾家蕩產的事之所以層出不窮，原因是許多人只把焦點放在前方的獵物，沒想到自己反而成為別人的點心。）
相同的期望值之下，因為每個人對風險的感受不同，風險的評估結果也不一樣，許多報酬高於風險的機會會遭到放棄，這其實是投資人的福音，懂得避險又能突破心理障礙的人，便能享受額外的利潤。（在效率市下風險和報酬成正比，但如果在相同風險下，有人因為報酬的效用評價不同而放棄機會，這將提供額外的報酬機會。有錢人因為不怕損失，因此往往更能把握住這樣的機會，這是造成有錢人愈來愈有錢的原因之一。）
彼得堡弔詭
白努里認為「財富少量增加產生的效用，與所擁有的財富數量成反比。」所以同一決策對當事者的價值感，與決策者所擁有的財富成反比。這個模型高明之處是把投資人主觀的因素納入模型中，使不同決策儘管期望值一樣，但評價卻會因人而異。之前的學者只考慮理性的數學評價，但白努里卻考慮到人性的差異。
「彼得堡弔詭」最能說明他的理論：「假設甲乙兩人賭博，方法是擲銅板，如果乙第一次就擲出正面，甲給乙一元，之後每多擲一次才得到正面，金額都會加倍。如果乙想賣出這個必勝的賭局，買的人應該付多少給乙？」以期望值來看，這個賭局的價值無限大，但在現實上買的人卻不願花太多錢，因為效用會遞減，所以真實的價值並非無限大。
「彼得堡弔詭」的案例很多，例如一家前途光明，成長看似永無止境的績優公司，即使專業投資人也會用驚人的本益比買進。1970年代的「精選50」便是最佳的例子。許多投資經理認為「精選50」的風險不在於買得太貴，而是買不到，亮麗的成長潛力，用任何價格買進都合理。結果股價都高得離譜，營收一億四千萬的國際味香公司，市值竟然和營收五十億的美國鋼鐵公司相當。結果幾年後國際味香股價跌了40%，而美國鋼鐵則漲了兩倍。這個錯誤有兩個原因，首先是太樂觀，其次是純用數學看世界很容易犯錯。
效用遞減
白努里「效用遞減」的觀念，對經濟學有長遠的影響，也是研究人類決策的重要基礎。他最大的創舉是認為即使最理性的人，也有獨特的價值觀，作為行事的準則。白努里舉了一個例子：兩個各有100元的人用銅板進行公正的賭博，勝負機率各半，每次下注50元，這個賭局值得參加嗎？白努里的效用理論顯示這是不對稱的賭局，輸家損失的50元比贏家獲得的50元有更高的效用，所以看似公正的賭局卻沒有參加的價值，因為輸掉50元的心痛超過贏得50元的快樂，所以「期望效用」反而降低了。（這對投資人有二點啟發：首先，投機成功所得到的，和失敗所失去的並不對等，就如同吃好一點跟餓死、住豪宅和燒碳自殺都不是對等的選項。其次，只有在風險不對稱時才值得操作，這時的期望效用才可能為正數。）
七、追尋確定性－精算學始祖普萊斯
機率與人生
二次大戰德國對莫斯科發動無數次夜間空襲，一位統計學家從不到防空洞避難，他常說：「莫斯科有七百萬人，炸彈哪會落在自己頭上？」有一天他竟然改變主意到防空洞避難，朋友詫異的問他原因，他說：「莫斯科有七百萬人和一頭大象，昨晚大象被炸死了。」
這個統計學家的表現說明面臨抉擇時，信心會受過去相同事件發生的頻率影響。人們會受最近發生的事件影響，不是忽略黑天鵝事件的嚴重性，就是高估黑天鵝事件的機率。這個故事還有更深層的意義，既然我們無法完全瞭解未來，那麼資訊有什麼意義呢？
第一個把機率和資訊合併考量的是傑可柏，他首先提出用樣本推算機率的問題。擲兩粒骰子，可以確定出現７的機會比８高，但一位二十歲男子和六十歲的老人何者壽命較長？研究二十歲和六十歲的人，是否能找到答案？萊布尼茲對此不表樂觀，他認為：「自然界一再發生的事件，會遵循特有的模式，但並非每件事都符合，只有大部份如此。」所以不論研究多少樣本，也無法得到明確的答案。機率論可以算出賭博的勝算，但現實生活的問題，即使是擁有無數資料的專家，也無法得出能完全信賴的結果。（這個結論太重要了，分析2000、2004、2008年台灣總統大選後股市大漲大跌的變化，投資人如果依相同模式在2012年操作，結果會以大敗出場。不管過去的證據有多充份，都無法肯定未來也會一樣。歷史有時是指路的明燈，但偶爾也會成為致命的陷阱，在投資領域裡，證據讓人太放心時，反而是最危險的時刻。）
大數法則
傑可柏假設：「在類似情況下，未來某事件會不會發生，必定遵守過去觀察的統計結果。」利用已發生事件估算未來再發生的機率，稱為「大數法則」。這個法則把觀察到的現象當成真相的冰山一角，不過觀察過再多冰山也無法瞭解冰山的全貌。換言之，增加觀察次數不一定能提高準確性。傑可柏採納了萊布尼茲的建議，放棄追尋精確答案的構想。大數法則並不告訴你，連續拋擲銅板要多少次，正面和反面出現的機率最接近50%，而是聚焦在觀察的平均值與真正平均值間的誤差。雖然不管觀察多少次，誤差永遠存在，但觀察次數愈多，二者的誤差愈可能落在容許的範圍內。
大數法則絕不可與平均律劃上等號，例如拋擲銅板每次拋擲都是獨立事件，而且得到正面的機率是50%。如果拋擲數次後有40%的次數出現正面，並不能以大數法則推論下次拋擲出現正面的機率高於50%。這個觀念之所重要，是因為在投資時，如果手氣一直不順，千萬不要以為按照大數法則，接下來一定會變得比較順。在人類社會，機率有某種程度的參考性，但不代表具有絕對的必然性。
鐘形曲線
傑可柏研究的重點是，若希望觀察值與實際值誤差在某個範圍內，必須做多少次觀察。而尼古拉斯則嘗試把關係顛倒過來，計算在觀察次數已知的情況下，機率值的誤差範圍。尼古拉斯的朋友馬福發現隨機抽樣，會自動在一定誤差範圍內，分佈在平均值周圍。這種分佈形態稱為「常態曲線」或「鐘形曲線」。鐘形曲線能夠計算觀察值偏離平均值的傾向，現在稱之為標準差。常態分佈下，約95%的觀察值會落在二個標準差內。馬福認為雖然機率會產生例外，但遵守規律的可能性卻大於一切，所以只要時間夠久，例外發生的次數，和依自然秩序產生的現像比起來，會成為非常少數的特例。（如果就投資來看，操作方式如果是對的，操作次數夠多，成果便會散佈在平均值附近，這是機械式操盤法或程式交易的根本邏輯。這種交易方式的問題是，未來的平均值會和過去一樣嗎？經濟環境隨時在改變，所以平均值改變的機會相當高，採用類似策略的人必須小心。）
事後的機率
貝伊斯曾提出一個問題：「知道某一未知事件已發生與未發生的次數，在只試一次時，該事件發生的機率為何？」貝伊斯對這個問題的解法是利用新資訊修訂根據舊資料建立的機率值，用統計學家的話說，就是拿時間順序發生在後的機率，修正發生在前的機率值，即「事後的機率」。這種隨著近期資訊湧進，修訂依據舊資料所作的推論，在哲學觀念上極為先進。在動態的世界裡，狀態不確定時，答案必然隨時改變。（這個觀念在投資上非常重要，我們對行情會有某種判斷或想法，並據此進場操作，但決定成敗差異的，並不是看法的正確性，而是隨著新資訊不斷出現，是否有能力隨之修正。失敗者一旦事先建立某種看法，而且進場操作後，便會產生選擇性認知現象，只選擇接受有利的資訊，忽略不利的條件。他們之所以失敗，是因為缺乏事後機率的概念。）
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